COFACTOR

El cofactor de a_i,j, es decir el cofactor relativo a la casilla (i, j) de la matriz A =( a _{i, j} ), es el menor multiplicado por el signo (-1) ^{i + j}. Se le nota c _{i, j} = (-1) ^{i + j} · M _{i, j} o â _{i, j} (con una tilde en vez del acento circunflejo).

En el ejemplo, c _{3, 2} = (-1)⁵ × 34 = -34.

La matriz de los cofactores de A se llama la comatriz de A, y se nota com A o A con una tilde encima. La comatriz sirve para calcular la matriz inversa de A, cuando existe, gracias a la relación:

A·^tcom A =^tcom A · A = det A· I_n, donde I_n es la matriz identidad de orden n.

Determinante De Una Matriz

Determinante de una matriz

Se llama determinante de una matriz cuadrada de orden n, cuyos términos pertenecen al cuerpo K, al escalar que se obtiene al sumar todos los diferentes productos de n elementos, que se pueden formar con los elementos de la matriz, de modo que en cada producto figuren elementos de todas las filas y todas las columnas de la matriz, a cada producto se le asigna el signo: (+), si la permutación de los subíndices de filas de sus elementos es de la misma clase que la permutación de los subíndices de las columnas y el signo: (–) si las permutaciones son de distinta clase.

MENOR DE UNA MATRIZ:

MENOR DE UNA MATRIZ:

   Es el determinante de una submatriz cuadrada de una matriz inicial.

   Sea A, la matriz:

   Un menor de A, podría ser el determinante de la matriz B, que es una submatriz cuadrada de A:

Axiomas de los Espacios Subvectoriales

1.0 Un conjunto E, de entes (O, \1, W, . , " X, 'Y'), llamados vectores,
está dotado de una 11') de composición interna, que notiñcamos
con el signo +, tal llP:
V TI, V e l·: ---+ Ü + V = X ; X E E
~, Esta Ipy mi orna P'" n...ociatíva:
v Ü, V, W E E ---'r (D + V) + W = TI = (V + W)
3,0 Esl.a ley Interna es unitaria:
V V E 3, EO E E --+ V + O = V
- b9 ~
4.° Esta ley interna es cancelativa:
'V V E E, 3 (-V) E E -->- V + (-V) = O
5.° Esta ley mterna es abeliana:
'V D, V E E --)- D + V = V + D
6.° Dado otro conjunto K, de entes (A, (L, p, ...., O, E), llamados escalares,
que esta estructurado segun un cuerpo i onmuiuiuio por
las leyes de composición « +.) y «'), de neutros respectivos «o,} y ({E'),
existe una ley de composición externa, notificada eo», que hace
corresponder a cada par escalar-vector otro vector de forma que:
'V A E K Y 'V V E E, --)- qo V = w
7.° Esta ley externa es distributrva respecto de la suma de escalares:
'V A, fL E K Y 'V V E E -->- (A + {L)o V = AO V + [.Lo V
8.° Esta ley externa es distributiva respecto de la suma de vectores:
'V A E K Y 'V D,V E E -->- x, (D + V) = "o TI + », V
9.° Esta ley externa es asociativa respecto al producto de los escalares:
'V A, fL E K, Y 'V V E E -->- x, (fLo \1)
10.° Esta ley externa es umtaria, con neutro el del producto en el
cuerpo:
'V V E E, -->- EO V = V

Tabla de Cayley

TABLA DE CAYLEY

Una tabla de Cayley, después del 19 del siglo el matemático británico Arthur Cayley, describe la estructura de un grupo finito mediante la organización de todos los productos posibles de todos los elementos del grupo en una mesa cuadrada que recuerda de una suma o tabla de multiplicar. Muchas de las propiedades de un grupo, como si es o no es abeliano, ¿qué elementos son los inversos de los elementos, y el tamaño y contenido del centro del grupo - puede deducirse fácilmente mediante el examen de la tabla de Cayley.  Un ejemplo simple de una tabla de Cayley es el uno para el grupo {1, -1} bajo la multiplicación ordinaria:

×	1	−1
1	1	−1
−1	−1	1

Estructura y diseño 

Debido a que muchas tablas de Cayley describir a grupos que no son abeliano, el producto B con respecto a la operación binaria del grupo no se garantiza que sea igual a la ba para todos los productos A y B en el grupo. Con el fin de evitar confusiones, la convención es que el factor que califica la fila (llamada factor de cerca por Cayley) viene primero, y que el factor de que las etiquetas de la columna (o factor) es la segunda. Por ejemplo, la intersección de la fila uno y la columna b es ab y no ba, como en el ejemplo siguiente:

*	a	b	c
a	a2	ab	ac
b	ba	b2	bc
c	ca	cb	c2

Cayley originalmente establecido sus tablas para que el elemento de identidad fue la primera, obviando la necesidad de la fila por separado y encabezados de columna aparece en el ejemplo anterior. Por ejemplo, no aparecen en la tabla siguiente

a	b	c
b	c	a
c	a	b

En este ejemplo, el grupo cíclico Z3, a es el elemento de identidad, y por lo tanto aparece en la esquina superior izquierda de la tabla. Es fácil ver, por ejemplo, que b2 = c, y que cb = a. A pesar de ello, los textos más modernos - y este artículo-se incluyen la fila y encabezados de columna para mayor claridad.

Lista de Comandos de Matlab

Los comandos Matlab no estándares se destacan en verde.

Comando	Descripción
abs	Valor absoluto
acker	Calcula la matriz K para ubicar los polos de A-BK, vea también place
axis	Corrige la escala del gráfico actual, vea también plot, figure
bode	Dibuja el diagrama de Bode, vea también logspace,margin, nyquist1
c2dm	Pasa del sistema continuo al discreto
clf	Borra la figura (use clg en Matlab 3.5)
conv	Convolución (útil para multiplicar polinomios), vea también deconv
ctrb	Matriz de controlabilidad, vea tambiénobsv
deconv	Deconvolución y división de polinomios, vea también conv
det	Halla el determinante de una matriz
dimpulse	Respuesta al impulso de sistemas lineales de tiempo discreto, vea también dstep
dlqr	Diseño de reguladores LQR lineales cuadráticos para sistemas de tiempo discreto, vea también lqr
dlsim	Simulación de sistemas lineales de tiempo discreto, vea también lsim
dstep	Respuesta al escalón de sistemas lineales de tiempo discreto, vea también stairs
eig	Calcula los autovalores de una matriz
eps	Tolerancia numérica del Matlab
feedback	Conexión de dos sistemas por realimentación.
figura	Crea una nueva figura o redefine la figura actual , vea también subplot, axis
for	Lazo For-Next
format	Formato Numérico (dígitos significativos, exponentes)
function	Para archivos-m del tipo función
grid	Dibuja la grilla en el gráfico actual
gtext	Agrega texto al gráfico actual, vea también text
help	Ayuda
hold	Mantiene el gráfico actual, vea también figure
if	Ejecuta código condicionalmente
imag	Devuelve la parte imaginaria de un número complejo, vea también real
impulse	Respuesta al impulso de sistemas lineales de tiempo continuo, vea también step, lsim, dlsim
input	Prompt para entrada de usuario
inv	Inversa de una matriz
jgrid	Genera grilla de coeficiente de amortiguamiento (zeta) y tiempo de establecimiento (sigma) constantes , vea también sgrid, sigrid, zgrid
legend	Leyenda en un gráfico
length	Largo de un vector, vea también size
linspace	Devuelve un vector linealmente espaciado
lnyquist1	Produce un diagrama de Nyquist en escala logarítmica , vea también nyquist1
log	logaritmo natural, también log10: logaritmo común
loglog	Grafica usando doble escala logarítmica, también semilogx/semilogy
logspace	Devuelve un vector logarítmicamente espaciado
lqr	Diseño de reguladores lineales cuadráticos LQR para sistemas continuos, vea también dlqr
lsim	Simula un sistema lineal, vea también step, impulse, dlsim.
margin	Devuelve margen de ganancia, margen de fase, y frecuencias de cruce, vea también bode
norm	Norma de un vector
nyquist1	Grafica el diagrama de Nyquist, vea también lnyquist1. Note que este comando reemplaza al comando nyquist para obtener diagramas de Nyquist más precisos.
obsv	Matriz de observabilidad, vea también ctrb
ones	Devuelve un vector o matriz de unos, vea también ceros
place	Calcula la matriz K para ubicar los polos de A-BK, vea también acker
plot	Dibuja un gráfico, vea también figure, axis, subplot.
poly	Devuelve el polinomio característico
polyadd	Suma dos polinomios
polyval	Valor numérico de un Polinomio
print	Imprime el gráfico actual (a impresora o a archivo postscript)
pzmap	Mapa de polos y ceros de sistemas lineales
rank	Halla la cantidad de renglones o columnas linealmente independientes de una matriz
real	Devuelve la parte real de un número complejo, vea también imag
rlocfind	Halla el valor de k y los polos en el punto seleccionado
rlocus	Grafica el lugar de raíces
roots	halla las raíces de un polinomio
rscale	Encuentra el factor de escala para un sistema con realimentación completa de estados
set	Set(gca,'Xtick',xticks,'Ytick',yticks) para controlar el número y el espaciado de marcas en los ejes
series	Interconexión en serie de sistemas Lineales que no dependan del tiempo
sgrid	Genera grilla de razón de amortiguación (zeta) y frecuencia natural (Wn) constantes , vea también jgrid, sigrid, zgrid
sigrid	Genera grilla de tiempo de establecimiento (sigma) constante, vea también jgrid, sgrid, zgrid
size	Devuelve la dimensión de un vector o matriz, vea también length
sqrt	Raíz cuadrada
ss	Crea modelos en espacio de estado o convierte modelos LTI a espacio de estado, vea también tf
ss2tf	representación Espacio de estado a función de transferencia , vea también tf2ss
ss2zp	representación Espacio de estado a polo-cero ,vea también zp2ss
stairs	Gráfico tipo escalera para respuesta discreta, vea también dstep
step	Dibuja la respuesta al escalón , vea también impulse, lsim, dlsim.
subplot	Divide la ventana Gráfico en secciones, vea también plot, figure
text	Agrega texto al gráfico actual, vea también title, xlabel, ylabel, gtext
tf	Crea una función de transferencia o convierte a función de transferencia, vea también ss
tf2ss	Función de Transferencia a representación en espacio de estado, vea también ss2tf
tf2zp	representación Función de Transferencia a Polo-cero , vea también zp2tf
title	Agrega un título al gráfico actual
wbw	Devuelve el ancho de banda dado el coeficiente de amortiguamiento y el tiempo de asentamiento o el tiempo de elevación.
xlabel/ylabel	Agrega una identificación al eje horizontal/vertical del gráfico actual, vea también title, text, gtext
ceros	Devuelve un vector o matriz de ceros
zgrid	Genera grilla de coeficiente de amortiguamiento (zeta) y frecuencia natural (Wn) constante , vea también sgrid, jgrid,sigrid
zp2ss	Polo-cero a representación en espacio de estado, vea también ss2zp
zp2tf	Polo-cero a representación función de transferencia , vea también tf2zp

Biografia De Gabriel Cramer

 Gabriel Cramer

Gabriel Cramer (31 de julio, 1704 - 4 de enero, 1752) fue un matemático Suizo nacido en Ginebra. Profesor de matemáticas de la Universidad de Ginebra durante el periodo 1724-27. En 1750 ocupó la cátedra de filosofía en dicha universidad. En 1731 presentó ante la Academia de las Ciencias de París, una memoria sobre las múltiples causas de la inclinación de las órbitas de los planetas.

Editó las obras de Jean Bernouilli (1742) y Jacques Bernouilli (1744) y el Comercium epistolarum de Leibniz. Su obra fundamental fue la "Introduction à l’analyse des courbes algébriques" (1750), en la que se desarrolla la teoría de las curvas algégricas según los principios newtonianos, demostrando que una curva de grado n viene dada por la expresión:

Reintrodujo el determinante, algoritmo que Leibniz ya había utilizado al final del siglo XVII para resolver sistemas de ecuaciones lineales con varias incógnitas. Editó las obras de Jakob Bernoulli y parte de la correspondencia de Leibniz.

Regla de Cramer
La regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752).

Si   es un sistema de ecuaciones. A es la matriz de coeficientes del sistema,   es el vector columna de las incógnitas y   es el vector columna de los términos independientes. Entonces la solución al sistema se presenta así:

Donde Aj es la matriz resultante de remplazar la j-ésima columna de A por el vector columna b.

tipos de matrices

Matrices y Tipo de Matrices
Matrices
Concepto de Matriz
Una matriz es un conjunto ordenado en una estructura de filas y columnas. Los elementos de este conjunto pueden ser objetos matemáticos de muy variados tipos, aunque de forma particular, se trabajará exclusivamente con matrices formadas por números reales. Estas se denotan con corchetes o paréntesis.
Normalmente las matrices son designadas por letras mayúsculas. Hay algunas matrices que tienen sus propias letras como se estudiara posteriormente.
Los elementos de una matriz se identifican por la fila y la columna que ocupan. Así, se designa por a32 el elemento que está situado en la tercera fila y segunda columna de la matriz A. Estos se denotan como i-ésimo para filas y j-ésimos para columnas
El número de filas y columnas que tiene una matriz se llama orden de la matriz. Se denota de la siguiente manera 3x3, donde el primer elemento representa el número de filas totales de la matriz y luego él de columnas totales.
Dos matrices son iguales si son de igual dimensión y coincide el valor de los elementos que ocupan la misma posición en ambas.

Ejemplo
Columna
 

Orden 3x3 a32= 2

Tipos de Matrices

Tipo de matriz
Definición
Ejemplo
VECTOR FILA
Aquella matriz que tiene una sola)fila, siendo su orden 1×n
'3C/td> 

VECTOR COLUMNA
Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden m×1

RECTANGULAR
Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden m×n ,

TRASPUESTA
Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. Se representa por At ó AT

OPUESTA
La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A.

NULA
Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por 0m×n

CUADRADA
Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciéndose que la matriz es de orden n. Diagonal principal : son los elementos a11 , a22 , ..., ann
Diagonal secundaria : son los elementos aij con i+j = n+1
Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal tr A.

SIMÉTRICA
Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta. A = At , aij = aji

ANTISIMÉTRICA
Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta. A = -At , aij = -aji
Necesariamente aii = 0

DIAGONAL
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal

ESCALAR
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales

IDENTIDAD
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se denomina matriz unidad.

TRIANGULAR
Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal nulos.

ORTOGONAL
Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible: A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.

NORMAL
Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices simétricas, antisimétricas u ortogonales son necesariamente normales.

INVERSA

Decimos que una matriz cuadrada A tiene inversa, A-1, si se verifica que : A·A-1 = A-1·A = I

Biografía de Johann Carl Friedrich Gauss

 

Johann Carl Friedrich Gauss nació el 30 de abril del año 1777, en Brunswick, Alemania, y fue un reconocido matemático, astrónomo y físico que realizó una gran cantidad de aportes en distintas especialidades, respetado principalmente por su teoría de números, la geometría diferencial, la geodesia, el análisis matemático y la óptica.

Criado en el seno de una familia con muy bajos recursos económicos, Gauss, desde muy pequeño se destacó por ser una persona por demás respetuosa y obediente, además, ya desde esa edad demostró ser muy hábil con los números y con el lenguaje.

Según se sabe, fue autodidacta en varios aspectos de su vida, pues aprendió a leer solo, y se hizo con el dominio de la aritmética sin que nadie siquiera se la presente.

A los 7 años de edad, ingresó a la escuela de Brunswick, en donde él, al igual que todos sus compañeros, fue aterrorizado por los métodos de enseñanza de su profesor, llamado Buttner.

Una de las grandes anécdotas de ese período escolar en la vida de Gauss, fue cuando una mañana su profesor, a modo de castigo, les planteó a sus alumnos un problema matemático para que lo hicieran mientras él se tomaba un descanso. Dicho problema consistía en conseguir el resultado de la suma de los primeros 100 números naturales. Un instante luego de que el mismo fue planteado, Gauss se levantó y le presentó el resultado al profesor, quien quedó anonadado al darse cuenta que era el único de la clase que había llegado a la solución correcta y en muy poco tiempo. Fue así que le preguntó al niño cómo había hecho para resolverlo tan rápido, a lo que él respondió: "Mire maestro, antes de empezar a sumar mecánicamente los 100 primeros números me di cuenta que si sumaba el primero y el último obtenía 101; al sumar el segundo y el penúltimo también se obtiene 101, al igual de sumar el tercero con el antepenúltimo, y así sucesivamente hasta llegar hasta los de los números centrales que son 50 y 51 que también suman 101. Entonces lo que hice fue multiplicar 101* 50 para obtener mi resultado de 5.050."

Pero su período más productivo en la educación fue cuando conoció a su compañero Bartels, con quien trabajó para descifrar y entender los libros que tenían sobre álgebra y análisis elemental. Fue en esta época, cuando Gauss comenzó a desarrollar varias ideas y métodos para trabajar sobre las matemáticas. El matemático se demostraba muy frustrado por los fundamentos que existían sobre la geometría y la teoría de los números que había desarrollado sus predecesores, por lo que decidió a terminar con lo que habían dejado a medias los matemáticos que le precedieron.

Fue en esa época cuando descubrió su amor por la aritmética, asegurando que para él "La matemática es la reina de las ciencias y la aritmética es la reina de las matemáticas”. Gracias a sus esfuerzos por el progreso y su modestia, el Duque Ferdinand decidió solventar sus gastos con el fin de asegurar el buen fin de su educación. Fue por esta razón, que Gauss ingresó al Colegio Carolino en donde continuó con sus estudios, donde, en muy poco tiempo, logró dominar el idioma griego y el latín. Luego de 3 arduos años de estudio, Gauss tuvo la difícil tarea de decidir si deseaba estudiar matemáticas o filología, pero finalmente se decidió por la ciencia perfecta.

En el año 1796, demostró que es posible dibujar un polígono regular de 17 lados. Además, probó el Teorema Fundamental del Álgebra, lo cual fue su tesis doctoral en 1799.

En 1801, editó su libro llamado "Disquisitiones Arithmeticae", que contaba con seis secciones dedicadas a la Teoría de números, la cual le brindó a dicha especialidad una estructura completamente sistematizada. Además, llegó a la conclusión de que cualquier polinomio, sin importar de que grado sea, tiene por lo menos una raíz.

Ocho años después, luego de ser nombrado "Director del Observatorio de Göttingen", Gauss publicó la "Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium", en la que describió la manera de calcular la órbita de un planeta.

FORMULAS BASICAS DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS

FORMULAS BASICAS DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS

El grado de una ecuación polinomial nos indica el número de raíces que esta posee.

Las principales ecuaciones polinomiales son:

·         Ecuación binomia

·         Ecuación bicuadrada

·         Ecuación trinomia

La resolución de estas ecuaciones se efectúa (en nuestro caso) por factorización

El teorema de cardano-viete nos indica que el grado de la ecuación polinomial es igual a la cantidad de propiedades que podemos obtener a partir de sus raíces, es decir una ecuación de segundo grado, posee dos propiedades, una ecuación de tercer grado posee tres propiedades y así sucesivamente.

Fórmulas de integrales definidas

Teorema de Moivre

Teorema de Moivre: Sean dos números complejos:

z = r ( cos a + i.sen a )

z’ = r’ ( cos a’ + i.sen a’ )

Será :

z.z’ = r.r’ ( cos (a+a’) + i.sen (a+a’) ).

z/z’ = r/r’ ( cos (a-a’) + i.sen (a-a’) ).

Habitualmente utilizamos la notación:

ra . r‘a ‘ = ( r.r‘) a+a‘ ra / r‘a ‘ = ( r/r‘) a - a'

Potencias y extraccion de numeros complejos

Potencias

Sea z = rx un número complejo en forma polar. Para calcular su potencia n-ésima, bastará con multiplicarlo por sí mismo n veces, con lo que se obtiene:

zn = z•z•..(n veces)..•z = (rx)•(rx)•..(n veces)..•(rx) = (r•r•..(n veces)..•r)x+x+..(n veces)..+x = (rn)n•x

 Es decir,

(rx)n = (rn)n•x

Si escribimos el número z en forma trigonométrica obtenemos:

z = r•(cos x + i•sen x) ==> zn = rn•(cos x + i•sen x)n = rn•(cos n•x + i•sen n•x)

De donde:

cos(n•x) + i•sen(n•x) = (cos x + i•sen x)n

expresión que recibe el nombre de fórmula de Moivre.

Como aplicación de esta fórmula podemos obtener las razones trigonométricas seno y coseno de múltiplos de un ángulo conocidas las razones trigonométricas del ángulo.

Bibliografia de William Rowan Hamilton

William Rowan Hamilton

(Dublín, 1805- id., 1865) Matemático irlandés. Físico, astrónomo y filósofo, concibió el álgebra como una ciencia del tiempo puro y orientó sus investigaciones hacia una matematización sistemática del mundo físico. Estructuró la teoría de los números complejos, que definió como pares de números reales, en cuyo conjunto definió una ley de composición conmutativa. De singular importancia es su aportación sobre la teoría de los cuaternios y de los hipernúmeros. Elaboró una teoría matemática de la óptica y un formalismo abstracto de la mecánica clásica. Destacan sus obras Métodos generales de dinámica y Elementos de cuaterniones.

Bibliografia de Gerolamo Cardano

Gerolamo Cardano

(Jérôme Cardan; Pavía, actual Italia, 1501-Roma, 1576) Matemático italiano. Se graduó en la Universidad de Pavía y se doctoró en medicina (1526) en la de Padua. En 1536 se trasladó a Milán, donde empezó a ejercer como profesor de matemáticas.

En 1539 publicó su primera obra en dicha materia, la Práctica de matemáticas y mediciones individuales, en la que recogió el contenido de sus clases. Ese mismo año fue admitido en la facultad de medicina, de la que al poco fue nombrado rector. En 1543, ya con una sólida fama como médico (a él se debe la primera descripción clínica de la fiebre tifoidea), se trasladó de nuevo a Pavía.

Dos años después publicó su obra científica más importante, el Ars magna, donde se recoge un exhaustivo estudio de las ecuaciones de tercer grado o cúbicas, y en la que se ofrece la regla para la resolución de las mismas que lleva su nombre. Por la publicación de dicho resultado fue duramente criticado por el también matemático Niccolò Tartaglia, quien se lo había revelado con la condición de que lo mantuviera en secreto y no lo divulgara, si bien Cardano, al descubrir otra fuente en la que se contenía dicha regla, se creyó liberado de su promesa.