Tabla de Cayley

TABLA DE CAYLEY

Una tabla de Cayley, después del 19 del siglo el matemático británico Arthur Cayley, describe la estructura de un grupo finito mediante la organización de todos los productos posibles de todos los elementos del grupo en una mesa cuadrada que recuerda de una suma o tabla de multiplicar. Muchas de las propiedades de un grupo, como si es o no es abeliano, ¿qué elementos son los inversos de los elementos, y el tamaño y contenido del centro del grupo - puede deducirse fácilmente mediante el examen de la tabla de Cayley.  Un ejemplo simple de una tabla de Cayley es el uno para el grupo {1, -1} bajo la multiplicación ordinaria:

×	1	−1
1	1	−1
−1	−1	1

Estructura y diseño 

Debido a que muchas tablas de Cayley describir a grupos que no son abeliano, el producto B con respecto a la operación binaria del grupo no se garantiza que sea igual a la ba para todos los productos A y B en el grupo. Con el fin de evitar confusiones, la convención es que el factor que califica la fila (llamada factor de cerca por Cayley) viene primero, y que el factor de que las etiquetas de la columna (o factor) es la segunda. Por ejemplo, la intersección de la fila uno y la columna b es ab y no ba, como en el ejemplo siguiente:

*	a	b	c
a	a2	ab	ac
b	ba	b2	bc
c	ca	cb	c2

Cayley originalmente establecido sus tablas para que el elemento de identidad fue la primera, obviando la necesidad de la fila por separado y encabezados de columna aparece en el ejemplo anterior. Por ejemplo, no aparecen en la tabla siguiente

a	b	c
b	c	a
c	a	b

En este ejemplo, el grupo cíclico Z3, a es el elemento de identidad, y por lo tanto aparece en la esquina superior izquierda de la tabla. Es fácil ver, por ejemplo, que b2 = c, y que cb = a. A pesar de ello, los textos más modernos - y este artículo-se incluyen la fila y encabezados de columna para mayor claridad.