Potencias y extraccion de numeros complejos

Potencias

Sea z = rx un número complejo en forma polar. Para calcular su potencia n-ésima, bastará con multiplicarlo por sí mismo n veces, con lo que se obtiene:

zn = z•z•..(n veces)..•z = (rx)•(rx)•..(n veces)..•(rx) = (r•r•..(n veces)..•r)x+x+..(n veces)..+x = (rn)n•x

 Es decir,

(rx)n = (rn)n•x

Si escribimos el número z en forma trigonométrica obtenemos:

z = r•(cos x + i•sen x) ==> zn = rn•(cos x + i•sen x)n = rn•(cos n•x + i•sen n•x)

De donde:

cos(n•x) + i•sen(n•x) = (cos x + i•sen x)n

expresión que recibe el nombre de fórmula de Moivre.

Como aplicación de esta fórmula podemos obtener las razones trigonométricas seno y coseno de múltiplos de un ángulo conocidas las razones trigonométricas del ángulo.