COFACTOR

El cofactor de a_i,j, es decir el cofactor relativo a la casilla (i, j) de la matriz A =( a _{i, j} ), es el menor multiplicado por el signo (-1) ^{i + j}. Se le nota c _{i, j} = (-1) ^{i + j} · M _{i, j} o â _{i, j} (con una tilde en vez del acento circunflejo).

En el ejemplo, c _{3, 2} = (-1)⁵ × 34 = -34.

La matriz de los cofactores de A se llama la comatriz de A, y se nota com A o A con una tilde encima. La comatriz sirve para calcular la matriz inversa de A, cuando existe, gracias a la relación:

A·^tcom A =^tcom A · A = det A· I_n, donde I_n es la matriz identidad de orden n.

Determinante De Una Matriz

Determinante de una matriz

Se llama determinante de una matriz cuadrada de orden n, cuyos términos pertenecen al cuerpo K, al escalar que se obtiene al sumar todos los diferentes productos de n elementos, que se pueden formar con los elementos de la matriz, de modo que en cada producto figuren elementos de todas las filas y todas las columnas de la matriz, a cada producto se le asigna el signo: (+), si la permutación de los subíndices de filas de sus elementos es de la misma clase que la permutación de los subíndices de las columnas y el signo: (–) si las permutaciones son de distinta clase.

MENOR DE UNA MATRIZ:

MENOR DE UNA MATRIZ:

   Es el determinante de una submatriz cuadrada de una matriz inicial.

   Sea A, la matriz:

   Un menor de A, podría ser el determinante de la matriz B, que es una submatriz cuadrada de A:

Axiomas de los Espacios Subvectoriales

1.0 Un conjunto E, de entes (O, \1, W, . , " X, 'Y'), llamados vectores,
está dotado de una 11') de composición interna, que notiñcamos
con el signo +, tal llP:
V TI, V e l·: ---+ Ü + V = X ; X E E
~, Esta Ipy mi orna P'" n...ociatíva:
v Ü, V, W E E ---'r (D + V) + W = TI = (V + W)
3,0 Esl.a ley Interna es unitaria:
V V E 3, EO E E --+ V + O = V
- b9 ~
4.° Esta ley interna es cancelativa:
'V V E E, 3 (-V) E E -->- V + (-V) = O
5.° Esta ley mterna es abeliana:
'V D, V E E --)- D + V = V + D
6.° Dado otro conjunto K, de entes (A, (L, p, ...., O, E), llamados escalares,
que esta estructurado segun un cuerpo i onmuiuiuio por
las leyes de composición « +.) y «'), de neutros respectivos «o,} y ({E'),
existe una ley de composición externa, notificada eo», que hace
corresponder a cada par escalar-vector otro vector de forma que:
'V A E K Y 'V V E E, --)- qo V = w
7.° Esta ley externa es distributrva respecto de la suma de escalares:
'V A, fL E K Y 'V V E E -->- (A + {L)o V = AO V + [.Lo V
8.° Esta ley externa es distributiva respecto de la suma de vectores:
'V A E K Y 'V D,V E E -->- x, (D + V) = "o TI + », V
9.° Esta ley externa es asociativa respecto al producto de los escalares:
'V A, fL E K, Y 'V V E E -->- x, (fLo \1)
10.° Esta ley externa es umtaria, con neutro el del producto en el
cuerpo:
'V V E E, -->- EO V = V

Tabla de Cayley

TABLA DE CAYLEY

Una tabla de Cayley, después del 19 del siglo el matemático británico Arthur Cayley, describe la estructura de un grupo finito mediante la organización de todos los productos posibles de todos los elementos del grupo en una mesa cuadrada que recuerda de una suma o tabla de multiplicar. Muchas de las propiedades de un grupo, como si es o no es abeliano, ¿qué elementos son los inversos de los elementos, y el tamaño y contenido del centro del grupo - puede deducirse fácilmente mediante el examen de la tabla de Cayley.  Un ejemplo simple de una tabla de Cayley es el uno para el grupo {1, -1} bajo la multiplicación ordinaria:

×	1	−1
1	1	−1
−1	−1	1

Estructura y diseño 

Debido a que muchas tablas de Cayley describir a grupos que no son abeliano, el producto B con respecto a la operación binaria del grupo no se garantiza que sea igual a la ba para todos los productos A y B en el grupo. Con el fin de evitar confusiones, la convención es que el factor que califica la fila (llamada factor de cerca por Cayley) viene primero, y que el factor de que las etiquetas de la columna (o factor) es la segunda. Por ejemplo, la intersección de la fila uno y la columna b es ab y no ba, como en el ejemplo siguiente:

*	a	b	c
a	a2	ab	ac
b	ba	b2	bc
c	ca	cb	c2

Cayley originalmente establecido sus tablas para que el elemento de identidad fue la primera, obviando la necesidad de la fila por separado y encabezados de columna aparece en el ejemplo anterior. Por ejemplo, no aparecen en la tabla siguiente

a	b	c
b	c	a
c	a	b

En este ejemplo, el grupo cíclico Z3, a es el elemento de identidad, y por lo tanto aparece en la esquina superior izquierda de la tabla. Es fácil ver, por ejemplo, que b2 = c, y que cb = a. A pesar de ello, los textos más modernos - y este artículo-se incluyen la fila y encabezados de columna para mayor claridad.

Lista de Comandos de Matlab

Los comandos Matlab no estándares se destacan en verde.

Comando	Descripción
abs	Valor absoluto
acker	Calcula la matriz K para ubicar los polos de A-BK, vea también place
axis	Corrige la escala del gráfico actual, vea también plot, figure
bode	Dibuja el diagrama de Bode, vea también logspace,margin, nyquist1
c2dm	Pasa del sistema continuo al discreto
clf	Borra la figura (use clg en Matlab 3.5)
conv	Convolución (útil para multiplicar polinomios), vea también deconv
ctrb	Matriz de controlabilidad, vea tambiénobsv
deconv	Deconvolución y división de polinomios, vea también conv
det	Halla el determinante de una matriz
dimpulse	Respuesta al impulso de sistemas lineales de tiempo discreto, vea también dstep
dlqr	Diseño de reguladores LQR lineales cuadráticos para sistemas de tiempo discreto, vea también lqr
dlsim	Simulación de sistemas lineales de tiempo discreto, vea también lsim
dstep	Respuesta al escalón de sistemas lineales de tiempo discreto, vea también stairs
eig	Calcula los autovalores de una matriz
eps	Tolerancia numérica del Matlab
feedback	Conexión de dos sistemas por realimentación.
figura	Crea una nueva figura o redefine la figura actual , vea también subplot, axis
for	Lazo For-Next
format	Formato Numérico (dígitos significativos, exponentes)
function	Para archivos-m del tipo función
grid	Dibuja la grilla en el gráfico actual
gtext	Agrega texto al gráfico actual, vea también text
help	Ayuda
hold	Mantiene el gráfico actual, vea también figure
if	Ejecuta código condicionalmente
imag	Devuelve la parte imaginaria de un número complejo, vea también real
impulse	Respuesta al impulso de sistemas lineales de tiempo continuo, vea también step, lsim, dlsim
input	Prompt para entrada de usuario
inv	Inversa de una matriz
jgrid	Genera grilla de coeficiente de amortiguamiento (zeta) y tiempo de establecimiento (sigma) constantes , vea también sgrid, sigrid, zgrid
legend	Leyenda en un gráfico
length	Largo de un vector, vea también size
linspace	Devuelve un vector linealmente espaciado
lnyquist1	Produce un diagrama de Nyquist en escala logarítmica , vea también nyquist1
log	logaritmo natural, también log10: logaritmo común
loglog	Grafica usando doble escala logarítmica, también semilogx/semilogy
logspace	Devuelve un vector logarítmicamente espaciado
lqr	Diseño de reguladores lineales cuadráticos LQR para sistemas continuos, vea también dlqr
lsim	Simula un sistema lineal, vea también step, impulse, dlsim.
margin	Devuelve margen de ganancia, margen de fase, y frecuencias de cruce, vea también bode
norm	Norma de un vector
nyquist1	Grafica el diagrama de Nyquist, vea también lnyquist1. Note que este comando reemplaza al comando nyquist para obtener diagramas de Nyquist más precisos.
obsv	Matriz de observabilidad, vea también ctrb
ones	Devuelve un vector o matriz de unos, vea también ceros
place	Calcula la matriz K para ubicar los polos de A-BK, vea también acker
plot	Dibuja un gráfico, vea también figure, axis, subplot.
poly	Devuelve el polinomio característico
polyadd	Suma dos polinomios
polyval	Valor numérico de un Polinomio
print	Imprime el gráfico actual (a impresora o a archivo postscript)
pzmap	Mapa de polos y ceros de sistemas lineales
rank	Halla la cantidad de renglones o columnas linealmente independientes de una matriz
real	Devuelve la parte real de un número complejo, vea también imag
rlocfind	Halla el valor de k y los polos en el punto seleccionado
rlocus	Grafica el lugar de raíces
roots	halla las raíces de un polinomio
rscale	Encuentra el factor de escala para un sistema con realimentación completa de estados
set	Set(gca,'Xtick',xticks,'Ytick',yticks) para controlar el número y el espaciado de marcas en los ejes
series	Interconexión en serie de sistemas Lineales que no dependan del tiempo
sgrid	Genera grilla de razón de amortiguación (zeta) y frecuencia natural (Wn) constantes , vea también jgrid, sigrid, zgrid
sigrid	Genera grilla de tiempo de establecimiento (sigma) constante, vea también jgrid, sgrid, zgrid
size	Devuelve la dimensión de un vector o matriz, vea también length
sqrt	Raíz cuadrada
ss	Crea modelos en espacio de estado o convierte modelos LTI a espacio de estado, vea también tf
ss2tf	representación Espacio de estado a función de transferencia , vea también tf2ss
ss2zp	representación Espacio de estado a polo-cero ,vea también zp2ss
stairs	Gráfico tipo escalera para respuesta discreta, vea también dstep
step	Dibuja la respuesta al escalón , vea también impulse, lsim, dlsim.
subplot	Divide la ventana Gráfico en secciones, vea también plot, figure
text	Agrega texto al gráfico actual, vea también title, xlabel, ylabel, gtext
tf	Crea una función de transferencia o convierte a función de transferencia, vea también ss
tf2ss	Función de Transferencia a representación en espacio de estado, vea también ss2tf
tf2zp	representación Función de Transferencia a Polo-cero , vea también zp2tf
title	Agrega un título al gráfico actual
wbw	Devuelve el ancho de banda dado el coeficiente de amortiguamiento y el tiempo de asentamiento o el tiempo de elevación.
xlabel/ylabel	Agrega una identificación al eje horizontal/vertical del gráfico actual, vea también title, text, gtext
ceros	Devuelve un vector o matriz de ceros
zgrid	Genera grilla de coeficiente de amortiguamiento (zeta) y frecuencia natural (Wn) constante , vea también sgrid, jgrid,sigrid
zp2ss	Polo-cero a representación en espacio de estado, vea también ss2zp
zp2tf	Polo-cero a representación función de transferencia , vea también tf2zp

Biografia De Gabriel Cramer

 Gabriel Cramer

Gabriel Cramer (31 de julio, 1704 - 4 de enero, 1752) fue un matemático Suizo nacido en Ginebra. Profesor de matemáticas de la Universidad de Ginebra durante el periodo 1724-27. En 1750 ocupó la cátedra de filosofía en dicha universidad. En 1731 presentó ante la Academia de las Ciencias de París, una memoria sobre las múltiples causas de la inclinación de las órbitas de los planetas.

Editó las obras de Jean Bernouilli (1742) y Jacques Bernouilli (1744) y el Comercium epistolarum de Leibniz. Su obra fundamental fue la "Introduction à l’analyse des courbes algébriques" (1750), en la que se desarrolla la teoría de las curvas algégricas según los principios newtonianos, demostrando que una curva de grado n viene dada por la expresión:

Reintrodujo el determinante, algoritmo que Leibniz ya había utilizado al final del siglo XVII para resolver sistemas de ecuaciones lineales con varias incógnitas. Editó las obras de Jakob Bernoulli y parte de la correspondencia de Leibniz.

Regla de Cramer
La regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752).

Si   es un sistema de ecuaciones. A es la matriz de coeficientes del sistema,   es el vector columna de las incógnitas y   es el vector columna de los términos independientes. Entonces la solución al sistema se presenta así:

Donde Aj es la matriz resultante de remplazar la j-ésima columna de A por el vector columna b.