tipos de matrices

Matrices y Tipo de Matrices
Matrices
Concepto de Matriz
Una matriz es un conjunto ordenado en una estructura de filas y columnas. Los elementos de este conjunto pueden ser objetos matemáticos de muy variados tipos, aunque de forma particular, se trabajará exclusivamente con matrices formadas por números reales. Estas se denotan con corchetes o paréntesis.
Normalmente las matrices son designadas por letras mayúsculas. Hay algunas matrices que tienen sus propias letras como se estudiara posteriormente.
Los elementos de una matriz se identifican por la fila y la columna que ocupan. Así, se designa por a32 el elemento que está situado en la tercera fila y segunda columna de la matriz A. Estos se denotan como i-ésimo para filas y j-ésimos para columnas
El número de filas y columnas que tiene una matriz se llama orden de la matriz. Se denota de la siguiente manera 3x3, donde el primer elemento representa el número de filas totales de la matriz y luego él de columnas totales.
Dos matrices son iguales si son de igual dimensión y coincide el valor de los elementos que ocupan la misma posición en ambas.

Ejemplo
Columna
 

Orden 3x3 a32= 2

Tipos de Matrices

Tipo de matriz
Definición
Ejemplo
VECTOR FILA
Aquella matriz que tiene una sola)fila, siendo su orden 1×n
'3C/td> 

VECTOR COLUMNA
Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden m×1

RECTANGULAR
Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden m×n ,

TRASPUESTA
Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. Se representa por At ó AT

OPUESTA
La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A.

NULA
Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por 0m×n

CUADRADA
Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciéndose que la matriz es de orden n. Diagonal principal : son los elementos a11 , a22 , ..., ann
Diagonal secundaria : son los elementos aij con i+j = n+1
Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal tr A.

SIMÉTRICA
Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta. A = At , aij = aji

ANTISIMÉTRICA
Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta. A = -At , aij = -aji
Necesariamente aii = 0

DIAGONAL
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal

ESCALAR
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales

IDENTIDAD
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se denomina matriz unidad.

TRIANGULAR
Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal nulos.

ORTOGONAL
Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible: A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.

NORMAL
Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices simétricas, antisimétricas u ortogonales son necesariamente normales.

INVERSA

Decimos que una matriz cuadrada A tiene inversa, A-1, si se verifica que : A·A-1 = A-1·A = I

Biografía de Johann Carl Friedrich Gauss

 

Johann Carl Friedrich Gauss nació el 30 de abril del año 1777, en Brunswick, Alemania, y fue un reconocido matemático, astrónomo y físico que realizó una gran cantidad de aportes en distintas especialidades, respetado principalmente por su teoría de números, la geometría diferencial, la geodesia, el análisis matemático y la óptica.

Criado en el seno de una familia con muy bajos recursos económicos, Gauss, desde muy pequeño se destacó por ser una persona por demás respetuosa y obediente, además, ya desde esa edad demostró ser muy hábil con los números y con el lenguaje.

Según se sabe, fue autodidacta en varios aspectos de su vida, pues aprendió a leer solo, y se hizo con el dominio de la aritmética sin que nadie siquiera se la presente.

A los 7 años de edad, ingresó a la escuela de Brunswick, en donde él, al igual que todos sus compañeros, fue aterrorizado por los métodos de enseñanza de su profesor, llamado Buttner.

Una de las grandes anécdotas de ese período escolar en la vida de Gauss, fue cuando una mañana su profesor, a modo de castigo, les planteó a sus alumnos un problema matemático para que lo hicieran mientras él se tomaba un descanso. Dicho problema consistía en conseguir el resultado de la suma de los primeros 100 números naturales. Un instante luego de que el mismo fue planteado, Gauss se levantó y le presentó el resultado al profesor, quien quedó anonadado al darse cuenta que era el único de la clase que había llegado a la solución correcta y en muy poco tiempo. Fue así que le preguntó al niño cómo había hecho para resolverlo tan rápido, a lo que él respondió: "Mire maestro, antes de empezar a sumar mecánicamente los 100 primeros números me di cuenta que si sumaba el primero y el último obtenía 101; al sumar el segundo y el penúltimo también se obtiene 101, al igual de sumar el tercero con el antepenúltimo, y así sucesivamente hasta llegar hasta los de los números centrales que son 50 y 51 que también suman 101. Entonces lo que hice fue multiplicar 101* 50 para obtener mi resultado de 5.050."

Pero su período más productivo en la educación fue cuando conoció a su compañero Bartels, con quien trabajó para descifrar y entender los libros que tenían sobre álgebra y análisis elemental. Fue en esta época, cuando Gauss comenzó a desarrollar varias ideas y métodos para trabajar sobre las matemáticas. El matemático se demostraba muy frustrado por los fundamentos que existían sobre la geometría y la teoría de los números que había desarrollado sus predecesores, por lo que decidió a terminar con lo que habían dejado a medias los matemáticos que le precedieron.

Fue en esa época cuando descubrió su amor por la aritmética, asegurando que para él "La matemática es la reina de las ciencias y la aritmética es la reina de las matemáticas”. Gracias a sus esfuerzos por el progreso y su modestia, el Duque Ferdinand decidió solventar sus gastos con el fin de asegurar el buen fin de su educación. Fue por esta razón, que Gauss ingresó al Colegio Carolino en donde continuó con sus estudios, donde, en muy poco tiempo, logró dominar el idioma griego y el latín. Luego de 3 arduos años de estudio, Gauss tuvo la difícil tarea de decidir si deseaba estudiar matemáticas o filología, pero finalmente se decidió por la ciencia perfecta.

En el año 1796, demostró que es posible dibujar un polígono regular de 17 lados. Además, probó el Teorema Fundamental del Álgebra, lo cual fue su tesis doctoral en 1799.

En 1801, editó su libro llamado "Disquisitiones Arithmeticae", que contaba con seis secciones dedicadas a la Teoría de números, la cual le brindó a dicha especialidad una estructura completamente sistematizada. Además, llegó a la conclusión de que cualquier polinomio, sin importar de que grado sea, tiene por lo menos una raíz.

Ocho años después, luego de ser nombrado "Director del Observatorio de Göttingen", Gauss publicó la "Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium", en la que describió la manera de calcular la órbita de un planeta.